

# 6.0 この章での検定

1.  独立な2群の平均値の差の検定

2.  対応のある2群の平均値の差の検定


# 6.1 2つの平均値を比較するケース

-   男女で心理学テストの平均値に差があるかを検討したい。

-   統計が好き・嫌いで統計テストの平均値に差があるかを検討したい。

-   統計の指導を受けたことにより成績が向上するかを検討したい。


# 6.2 独立な2群の検定


## 分散既知 あるいは 大標本の場合 (z-検定)

確率変数の和の平均と分散の期待値の公式より，標本平均の差の標本分
布は，

\begin{equation}
\bar{x_1} - \bar{x_2} \sim N(\mu_1-\mu_2, \sigma^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}))
\end{equation}

標準化することで，

$$
    \bar{Z} = 
    \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2} -
    (\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}
    \sim N(0,1)
    $$


## 分散未知の場合 (t-検定)

母分散を不偏分散で推定する。
標本平均の不偏分散を $ \hat{\sigma_1} $, $ \hat{\sigma_2} $
\\) とすると，標本平均の差の不偏分散は，その加重平均となる：

$$
    \hat{\sigma}_{pooled} = \frac{(n_1-1)\hat{\sigma_1}^2 +
    (n_2-1)\hat{\sigma_2}^2}
    {(n_1-1) + (n_2 -1)}
    $$

母分散の推定量 $ \hat{\sigma}_{pooled} $ のことを，2群をプールし
た分散という。

$$
    \bar{t} = 
    \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\hat{\sigma}_{pooled}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}})}
    \sim t_{(n_1-1)+(n_2-2)}
    $$


## 例題

統計テスト1の得点の平均値に男女で有意な差があるでしょうか？
有意水準5%，両側検定してください。


### データの準備

```{r}    
    (指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv"))
    class(指導法データ)
```    

#### 男女別

```{r}    
    (統計1男 <- subset(指導法データ, sex=="男")$stat_test1)
    (統計1女 <- subset(指導法データ, sex=="女")$stat_test1)
```


### t-検定 (等母分散)

母分散が等しいことを前提としているので，2群の分散が等しいことを
示す var.equal=TRUE を指定する。

```{r}    
    t.test(統計1男, 統計1女, var.equal=TRUE)
```

### t-検定 (異なる母分散)

2群の分散が等しくないいことを
示す var.equal=FALSE を指定する。

帰無分布は同じく t-分布であるが、自由度が異なる
(統計学入門，12.2.4)

```{r}    
    t.test(統計1男, 統計1女, var.equal=FALSE)
```
    
# 6.3 t-検定の前提条件

1.  標本抽出が無作為に行われていること
2.  母集団の分布が正規分布であること
3.  2つの母集団の分散が等質であること

3つの条件は，帰無分布が t-分布になるために必要です。


## 6.3.1 分散の等質性の検定

-   2つの母集団の分散の等質性を，
-   それぞれの母集団からの2つの標本を用いて，
-   「ふたつの母分散は等しい」という帰無仮説の検定をおこなう
-   R では， var.test


### 例題

クラスA,Bの統計学のテストの平均点に有意な差があるでしょうか？
有意水準5%で検定を行ってください。


#### データ

```{r}    
    (クラスA <- c(54, 55, 52, 48, 50, 38, 41, 40, 53, 52))
    (クラスB <- c(57, 63, 50, 60, 61, 69, 43, 58, 36, 29))
    var.test(クラスA, クラスB)
	
```	

# 6.4 対応のある (z,t)-検定

-   **独立な2群 or 対応のない2群:** 例えば30人の被験者を，ランダムに2群に分た場合

-   **対応のある2群:** 同じ人の2種類のデータ。対応付られた2人ごとのデータ。


## 対応のあるデータの検定量

統計テスト1の得点を $ X_1 $,
統計テスト2の得点を $ X_2 $,
対応する得点差を $ D  = X_2 - X_1 $, とすると，それらの標本平
均にたいし，下式が成り立つ:

$$
       \bar{D} = \bar{X}_2 - \bar{X}_1
      $$


### 得点差の標本平均の計算

```{r}    
    指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv")
    
    (統計テスト1 <- 指導法データ$stat_test1)
    (統計テスト2 <- 指導法データ$stat_test2)
    (変化量 <- 統計テスト2 - 統計テスト1)
    c(mean(統計テスト2) - mean(統計テスト1), mean(変化量))
```


### 得点差の標本平均が従がう分布

-   $ X_i \sim N(\mu_{i}, \sigma^2_{i}) $ を仮定すれば，
-   $ D \sim N(\mu_{D}, \sigma^2_{D}) $  となり，
-   標本分布は，$ \bar{D} \sim N(\mu_{D},	  \frac{\sigma^2_{D}}{n}) $ となる。
-   $ \bar{D} $ を標準化して, $ n $を標本数として，
    $$
    	 Z = \frac {\bar{D} - \mu_{D}} {\sigma_{D} \sqrt{n}} \sim N(0,1)
    	 $$
-   $\sigma^2_D $ が既知ならば，z-検定
-   $\sigma^2_D $ が未知ならば，不偏分散を用いたt-検定


### 例題：

「指導法データ」の統計テスト1と統計テスト2の得点について、指導
の前後で統計テストの得点が変化したといえるでしょうか。有意水準
5％、両側検定で検定してください。

```{r}    
    t.test(変化量)
```
    
