原理的には一元配置分散分析です。

先述した交互作用は、*繰り返しのある二元配置分散*で導くことが出来ます。

『繰り返し』とは、全く同じ条件のN増し実験のことを指します。

一条件に対して、N=1の試験を対象にした分散分析を*繰り返しの無い分散分析*と言います。

さて二元配置分散における各変動を式で表すと、

総分散

\[\sum\sum\sum(x_{ijk}-\overline{\overline{x}})^2\]

群間変動

\[V_i=jk\sum(\overline{x_i}-\overline{\overline{x}})^2\]

\[V_j=ik\sum(\overline{x_j}-\overline{\overline{x}})^2\]

交互作用

\[V_k=k\sum\sum(\overline{x_{ij}}-\overline{\overline{x}})^2-(V_i+V_j)\]

群内変動(誤差)

\[V_g=V-(V_i+V_j+V_k)\]

ハイ、ピンときません

ある収穫物の収量に対して、肥料と土による効果を分散分析で評価してみましょう。

ここでは要因として肥料と土が挙がります(ちなみに全体の平均値は7になります)。

まず、肥料の効果ですが肥料1の平均値4と肥料2の平均値10がそれぞれのマスを埋めるイメージを持ってください。

この状態の変動(偏差平方和)を計算すると、

\[V_1=4×(4-7)^2+4×(10-7)^2=72\]

となります。

次は土です。

土の偏差平方和は

\[V_2=4×(5-7)^2+4×(9-7)^2=32\]

になります。そして交互作用です。

交互作用=肥料×土の作用ですので、以下のようなマスで考えます。

これで考えると、

\[2×(1-7)^2+2×(1-7)^2+2×(1-7)^2+2×(1-7)^2=112\]

この数字には肥料の変動と土の変動が混ざっていますから、引いてやります。

\[V_k=112-72-32=8\]

最後に誤差ですが、そもそもこの表は

\[総変動=126\]

ですから、そこから今まで算出した変動を総変動から差し引くと

\[誤差=126-(72+32+8)=14\]

これですべての変動が揃いましたが、この後F検定を実施するためにはそれぞれを自由度で引いてあげる必要があります。データの総数は8ですので

総変動の自由度=8-1=7

になります。

そしてそれぞれの自由度ですが、マス目の色の数から1を引くとその自由度になります。つまり

肥料の自由度=2-1

土の自由度=2-1

次に交互作用の自由度ですが、マスの色の数は4なので1を引くと3ですが、その後に肥料の自由度と土の自由度も引いてあげる必要があります。よって

交互作用の自由度=(4-1)-1-1=1

です。そして誤差の自由度は、総変動の自由度からこれまで算出した自由度すべてを引きます。

誤差=7-(1+1+1)=4

そして導かれた変動を自由度で割ると分散が算出されます。

これらをすべて表にまとめると、このようになります。

ここからF検定を実施していきましょう

F検定は誤差に対して、有意差があるのか否かを確認するので、F値は各要因と 交互作用の分散を誤差の分散で除することで算出されます。

• F検定？ばらつきの有意差を明確にしよう！【分散分析でも使います】

またF_0.05ですが、今回は奇しくもすべて自由度1,4の組み合わせであり、7.7になります。

これらの計算結果を表にすると以下のようになります。

[[ 以上のようにF検定の結果、肥料と土にはそれぞれ有意差があるため効果があることが分かります。

そして交互作用は有意差が見られないので、交互作用は無いという事が分かります。