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データの平方和

χ2 分布と F 分布

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χ2 分布
データの平方和である統計量 χ2 が従う分布
  • 母分散の区間推定
  • 独立性の検定
F 分布
二つの χ2 の比が従う分布
  • 等分散の検定
  • 分散分析

5.1 χ2 分布

工場で製造される製品の容量のバラツキは?

データの平方和

標準正規母集団からの無作為標本

Xi=1:n 標準正規母集団からの無作為標本

  • 母集団が正規分布の場合は,標準化する

χ2 統計量

標準化

XN(μ,σ2) のとき, Z=Xμσ N(0,1) となる。

Z2 は,E[Z2]=0, V[Z2]=2, Z2χ(1)2 (自由度1のカイ二乗分布) となる。

標準化された平方和の分布

教科書等では,統計量も分布も区別せずに χ2 で記述していますが, ここでは,標本サイズ n の統計量は K(n)2, 自由度n1のカイ二乗分布を χn12 と区別して記述します。

K(n)2=Σi=1nZi2=Σi=1n(Xiμ)2/σ2

自由度1のカイ二乗分布の和であるので,

  • n は自由度。
  • 期待値は n,
  • 分散は, 2n
  • 再生成 χ(m+n)2=χ(m)2+χ(n)2 がある
χ2 分布
  • 非対称, 平均は中央にない
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curve(dchisq(x,df=1),from=0, to=10, lty=1, col=1,main="自由度によって形が変るカイ二乗分布")
curve(dchisq(x,df=3),from=0, to=10, lty=1, col=2, add=T)
curve(dchisq(x,df=10),from=0, to=10, lty=1, col=3, add=T)
legend(2, 0.7, c("自由度=1", "自由度=3", "自由度=10"), lty=c(1,1,1), col=c(1,2,3))

05-chisq.png

Author: suzuki@iwate-u.ac.jp 鈴木正幸,非常勤講師

Created: 2021-12-06 月 11:50

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