確率と統計 10. 区間推定

\(Z_n = \frac{\overline{X_{(n)}}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1) \)

\( P(\theta_{l} \leq \theta \leq \theta_{h}) \) という主張

危険度

\( \alpha \): 0.05, 0.01 が用いられることが多い

\( P( \theta \leq \theta_{l} || \theta_{h} \leq \theta) = \alpha \) となる確率を危険度という

メッタに起らない事象である度合い。

信頼度

\(1-\alpha\)： 0.95, 0.99 が用いられることが多い

\( P(\theta_{l} \leq \theta \leq \theta_{h}) = 1 - \alpha \) とな る区間 \( [\theta_{l}, \theta_{h}] \) を, 信頼区間 と呼ぶ。

\(T_n = \frac{\overline{X_{(n)}}-\mu}{\sqrt{S^2/n}} \sim t_{n-1} \)

分散既知の場合と同じ

で，母分布が未知のため，大数の法則と中心極限定理を用いると，

\(Z_n \stackrel{d}{\longrightarrow} N(0, 1) \) ， \( {\sqrt{S^2/\sigma^2}} \stackrel{P}{\longrightarrow} 1\)

なので， \(T_n \stackrel{d}{\longrightarrow} N(0, 1) \)

\( 1-\alpha = P (|T_n| \leq z^{*}) \)

\( = P( \frac{|\overline{X_{(n)}}-\mu|}{\sqrt{S^2/n}} \leq z^{*}) \)

\( = P( {|\overline{X_{(n)}}-\mu|} \leq z^{*}\sqrt{S^2/n} ) \)

\( = P \left( \overline{X_{(n)}}-z^{*} \sqrt{S^2/n} \leq \mu \leq \overline{X_{(n)}} + z^{*}\sqrt{S^2/n} \right) \)

tz_interval <- function (alpha, sample) {
  c(qnorm(1-alpha/2), qnorm(alpha/2))
  }

## 母平均の区間推定，母分布未知

### alpha : 危険度， (1-alpha): 信頼度
### sample : 標本

est_tz_conf_interval <- function (alpha, sample) {

  xbar = mean(sample)
  s2   = var(sample)
  n = length(sample)
  tz <- tz_interval(0.05, sample)
  sigma <- sqrt(s2)
  
  c(xbar - sigma*tz[1]/sqrt(n), xbar + sigma*tz[1]/sqrt(n))

}

var(sample)
tz_interval(0.05, sample)
est_tz_conf_interval(0.05, sample)

[1] 0.7330411
[1]  1.959964 -1.959964
[1] 29.00330 29.75376

• 全国民に聞ければ全て判明
• 適当な人数にアンケート調査して， 適当な方法で支持率を推定したい
• アンケート結果を \( \overline{X_{(n)}} \) で得られた値 \( a \)%
• \( a \)% にどの程度誤差を見積もるか？

• 確率変数: \( X = 1 \) で支持，\( X = 0 \)で支持しない。
• 支持率 : \( \theta \)
• 母分布 : ベルヌーイ分布

\( \mu = \theta \)

推定量 \( \overline{X_{(n)}} \)

\( \sigma^2 = \theta (1-\theta) \)

推定量 \(\overline{X_{(n)}} (1 - \overline{X_{(n)}}) \)

\( \theta \) の信頼区間は， \(\overline{X_{(n)}} \pm z^*_{\alpha} \sqrt{\overline{X_{(n)}} (1 - \overline{X_{(n)}})/n} \)

誤差を \( \pm 1% \) 程度にしたい。 そのために必要な標本サイズはいくつか？

\( z^*_{\alpha} \sqrt{\overline{X_{(n)}} (1 - \overline{X_{(n)}})/n} \approx 0.01 \)

しかし \( \overline{X_{(n)}} \)は，アンケート前にはわからないので， 分散 \( \theta (1-\theta\) \) が最大になる，\(\theta = 1/2 \) とし て，概数を求める。

Aグループ

新薬を投与し， \( \overline{X_{(n)}} = 3.56 \)

Bグループ

新薬を投与し， \( \overline{Y_{(m)}} = 1.27 \)

平均的には，\( \overline{X_{(n)}} - \overline{Y_{(m)}} = 2.29 \) だが，その誤差の見積りは？

のとき，\( \mu_x - \mu_y \) の区間推定

\( \overline{X_{(n)}} - \overline{Y_{(m)}} \sim N(\mu_x-\mu_y, \sigma_x^2/n + \sigma_y^2/m )\)

• 母集団 \( \sim N(\mu, \sigma^2) \),
• \( \mu \), \( \sigma^2 \) は未知

分散の推定量 \( S^2 \) は，

\( (n-1) S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1} \)

\( P( u \leq (n-1) S^2/\sigma^2 \leq v ) = 1 - \alpha \)

\( 1-\alpha = P((n-1) S^2/v \leq \sigma^2 \leq (n-1) S^2/u )\)

なので，信頼区間は，

\( \left[((n-1) S^2/v, (n-1) S^2/u ) \right]\)

###
### 
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for (d in c(4,8,16,32,64)) {
  print(c(d), qchisq(0.025,df=d), qchisq(0.975,df=d)))
}

[1]  4.0000000  0.4844186 11.1432868
[1]  8.000000  2.179731 17.534546
[1] 16.000000  6.907664 28.845351
[1] 32.00000 18.29076 49.48044
[1] 64.00000 43.77595 88.00405

###
### 
###
for (d in c(4,8,16,32,64)) {
  print(c(d, qchisq(0.05,df=d), qchisq(0.95,df=d)))
}

[1] 4.000000 0.710723 9.487729
[1]  8.000000  2.732637 15.507313
[1] 16.000000  7.961646 26.296228
[1] 32.00000 20.07191 46.19426
[1] 64.00000 46.59491 83.67526