7章 分散分析

(指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv"))
class(指導法データ)
str(指導法データ)

   SID   name sex math stat psych_test stat_test1 stat_test2 method
1    1   大村  男 嫌い 好き         13          6         10      C
2    2   本多  男 嫌い 好き         14         10         13      B
3    3   川崎  男 好き 好き          7          6          8      B
4    4   多村  男 好き 好き         12         10         15      A
5    5   松中  男 嫌い 嫌い         10          5          8      B
6    6 小久保  男 嫌い 嫌い          6          3          6      C
7    7   柴原  男 嫌い 嫌い          8          5          9      A
8    8   井手  男 嫌い 嫌い         15          9         10      D
9    9   田上  男 嫌い 嫌い          4          3          7      D
10  10   松田  男 好き 嫌い         14          3          3      D
11  11   高谷  女 好き 好き          9         11         18      A
12  12   杉内  女 嫌い 好き          6          6         14      A
13  13   和田  女 好き 好き         10         11         18      A
14  14   新垣  女 嫌い 嫌い         12          9         11      C
15  15   大隣  女 嫌い 好き          5          7         12      B
16  16   水田  女 好き 嫌い         12          5          5      D
17  17   斉藤  女 嫌い 嫌い          8          8          7      C
18  18   柳瀬  女 嫌い 嫌い          8          7         12      C
19  19   佐藤  女 嫌い 嫌い         12          7          7      B
20  20   馬原  女 嫌い 嫌い         15          9          7      D
[1] "data.frame"
'data.frame':	20 obs. of  9 variables:
 $ SID       : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ name      : Factor w/ 20 levels "井手","高谷",..: 14 18 12 13 6 5 4 1 16 7 ...
 $ sex       : Factor w/ 2 levels "女","男": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
 $ math      : Factor w/ 2 levels "嫌い","好き": 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 ...
 $ stat      : Factor w/ 2 levels "嫌い","好き": 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ...
 $ psych_test: int  13 14 7 12 10 6 8 15 4 14 ...
 $ stat_test1: int  6 10 6 10 5 3 5 9 3 3 ...
 $ stat_test2: int  10 13 8 15 8 6 9 10 7 3 ...
 $ method    : Factor w/ 4 levels "A","B","C","D": 3 2 2 1 2 3 1 4 4 4 ...

(As <- subset(指導法データ, method=="A")$stat_test2)
(Bs <- subset(指導法データ, method=="B")$stat_test2)
(Cs <- subset(指導法データ, method=="C")$stat_test2)
(Ds <- subset(指導法データ, method=="D")$stat_test2)

(統計テスト2 <- c(As, Bs, Cs, Ds))

(指導法 <- c(rep("A",5),rep("B",5),rep("C",5),rep("D",5)))
(指導法2 <- factor(指導法))                # 要因型ベクトルに変換

[1] 15  9 18 14 18
[1] 13  8  8 12  7
[1] 10  6 11  7 12
[1] 10  7  3  5  7
 [1] 15  9 18 14 18 13  8  8 12  7 10  6 11  7 12 10  7  3  5  7
 [1] "A" "A" "A" "A" "A" "B" "B" "B" "B" "B" "C" "C" "C" "C" "C" "D" "D" "D" "D"
[20] "D"
 [1] A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D
Levels: A B C D

指導法を受けている全ての人を母集団とし，その母集団において，指導法ごと に求めたテスト得点の平均値に違いがあるかを知りたい。

この20人のデータは，母集団からの無作為抽出標本です。

この標本が，母平均の等しい4群 (A,B,C,Dの指導法ごとの) から抽出された可 能性が高いかを検討する。

そのための検定が，*分散分析* です。

(全データ <- cbind(As, Bs, Cs, Ds))

     As Bs Cs Ds
[1,] 15 13 10 10
[2,]  9  8  6  7
[3,] 18  8 11  3
[4,] 14 12  7  5
[5,] 18  7 12  7

(群平均 <- colMeans(全データ))      # 水準ごとの平均のベクトル

  As   Bs   Cs   Ds 
14.8  9.6  9.2  6.4

# 水準ごとの平均のベクトルを行数だけ並べた行列を作る
(群平均行列 <- matrix(rep(群平均, nrow(全データ)), nrow=nrow(全データ), 
                     ncol=ncol(全データ),byrow=TRUE))

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 14.8  9.6  9.2  6.4
[2,] 14.8  9.6  9.2  6.4
[3,] 14.8  9.6  9.2  6.4
[4,] 14.8  9.6  9.2  6.4
[5,] 14.8  9.6  9.2  6.4

(群間 <- 群平均行列 - mean(全データ))

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]  4.8 -0.4 -0.8 -3.6
[2,]  4.8 -0.4 -0.8 -3.6
[3,]  4.8 -0.4 -0.8 -3.6
[4,]  4.8 -0.4 -0.8 -3.6
[5,]  4.8 -0.4 -0.8 -3.6

(群内 <- 全データ - 群平均行列)  # 各データと、その群内の平均との差

       As   Bs   Cs   Ds
[1,]  0.2  3.4  0.8  3.6
[2,] -5.8 -1.6 -3.2  0.6
[3,]  3.2 -1.6  1.8 -3.4
[4,] -0.8  2.4 -2.2 -1.4
[5,]  3.2 -2.6  2.8  0.6

(群内平方和 <- sum(群内^2))               # 　群内平方和

[1] 138

(群間平方和 <- sum(群間^2))               # 　群内平方和

[1] 184

分母 <- 群内平方和 / ( (nrow(全データ)-1)*ncol(全データ) )

7.1.1項の帰無仮説の棄却では，4つの群の母平均が等しくないことは分 るが，どの群に間に差があるのかは分らない。

どの群に間に差があるのかを調べるために，* 多重比較 * とよばれる方 法を使う。

ここでは，Tukeyの方法について説明する。

以下の表は5名の学生に、線形代数、微分積分、確率統計に対する好意度 の評定データである。 これら3つの科目に対する好意度に差があるだろ うか？（念のため：これは１要因３水準)

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
科目         2  22.53  11.267   2.641  0.112
Residuals   12  51.20   4.267

            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
科目         2  22.53  11.267    14.7 0.002095 ** 
人           4  45.07  11.267    14.7 0.000931 ***
Residuals    8   6.13   0.767                     

いま、A,B, Cという3つの群があったとします。そこで、2群間の検定を A-B間、 B-C間、C-AC間で有意水準5%で行ったとします。

ここで、「この組み合わせの少なくとも１つは有意差がある」 となる確率を 計算すると(実際にその間に有意差があるなしに拘らず)、 　 1-(1-0.05)*(1-0.05)*(1-0.05) = 0.14 となります。つまり、 有意水準 5% (=0.05)で検定したつもりが、 この方法では実質的に 14 %で検定している、 つまり 検定力が低下してしまう、というのが理由です。

TukeyHSD(aov(好意度 ~ 科目 + 人))

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = 好意度 ~ 科目 + 人)

$科目
                  diff       lwr       upr     p adj
線形代数-確率統計  1.4 -0.182381  2.982381 0.0811694
微分積分-確率統計 -1.6 -3.182381 -0.017619 0.0477167
微分積分-線形代数 -3.0 -4.582381 -1.417619 0.0016141

$人
                diff        lwr        upr     p adj
岸-荻野    1.3333333 -1.1365377  3.8032044 0.4036928
吉川-荻野 -2.0000000 -4.4698711  0.4698711 0.1226987
大引-荻野  3.0000000  0.5301289  5.4698711 0.0186089
田中-荻野  2.0000000 -0.4698711  4.4698711 0.1226987
吉川-岸   -3.3333333 -5.8032044 -0.8634623 0.0102769
大引-岸    1.6666667 -0.8032044  4.1365377 0.2282769
田中-岸    0.6666667 -1.8032044  3.1365377 0.8766404
大引-吉川  5.0000000  2.5301289  7.4698711 0.0007714
田中-吉川  4.0000000  1.5301289  6.4698711 0.0033834
田中-大引 -1.0000000 -3.4698711  1.4698711 0.6448878

TukeyHSD(aov(好意度 ~ 科目 + 人), "科目")

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = 好意度 ~ 科目 + 人)

$科目
                  diff       lwr       upr     p adj
線形代数-確率統計  1.4 -0.182381  2.982381 0.0811694
微分積分-確率統計 -1.6 -3.182381 -0.017619 0.0477167
微分積分-線形代数 -3.0 -4.582381 -1.417619 0.0016141

全体平方和 = 条件平方和 + 個人差平方和 + 残差平方和 となること確か めた

自由度

• 条件の自由度 = 条件の数 - 1 = 2
• 個人差の自由度 = 人数 - 1 = 4
• 残差の自由度 = 条件の自由度 * 個人差の自由度 = 2 * 4 = 8
• 全体の自由度 = 全データ数 - 1 = 14

全体の自由度 = 条件の自由度 + 個人差の自由度 + 残差の自由度 がなり たつ

ミネラルウォーターの美味しさに関する実験では，母平均に違いがあると考え られている (対立仮説)

違いの:

要因

母平均に違いをもたらす原因

水準

ある要因の中に含まれる個々の条件

例題では;

二元配置分散分析では、主効果と交互作用効果という2種類の効果を考える

主効果

それぞれの要因ごとの効果

一元配置分散分析のときに考えた効果と同じ

交互作用効果

2つ以上の要因が組み合わされたときに生じる効果

2つの要因の効果の単純な足し算では説明できない効果

一元配置分散分析をしてみる：

summary(aov(味~温度))

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)   
温度         1   67.5   67.50   7.683 0.0098 **
Residuals   28  246.0    8.79                  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

summary(aov(味~銘柄))

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
銘柄         2  155.0   77.50    13.2  1e-04 ***
Residuals   27  158.5    5.87                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

ミネラルウォーターの美味しさの５人の評定者による評定データ(前の例題の表に評定者データを加えたもの):

同じ評定者が、温度と銘柄のそれぞれの要因の組合わせに対して評定を下す

# 変数「味」, 「温度」, 「銘柄」 は前の例題のものを使う
 人1 <- factor(rep(c("村松","川崎","井口","松中","城島"),6))            # 評定車の情報
 数字1D1 <- factor(rep(1:5,6))          # 評定者名の代わりに数字を使う場合

summary(aov(味~温度*銘柄                        # 対応のない場合と同じ
        +Error(人1+人1:温度+人1:銘柄+人1:温度:銘柄)))  # 個人差によるデータの分析

aov(味~温度*銘柄                        # 対応のない場合と同じ
        +Error(人1+人1:温度+人1:銘柄+人1:温度:銘柄))  # 個人差によるデータの分析

Error: 人1
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals  4     45   11.25               

Error: 人1:温度
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
温度       1   67.5   67.50      18 0.0132 *
Residuals  4   15.0    3.75                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Error: 人1:銘柄
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
銘柄       2    155    77.5     155 4.01e-07 ***
Residuals  8      4     0.5                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Error: 人1:温度:銘柄
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
温度:銘柄  2     15     7.5       5  0.039 *
Residuals  8     12     1.5                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

この例題の場合、「対応がある」ということは『個人差』によるデータのばら つきを分析することができる、ということ。

したがって(個人差のばらつきを除くことにより)、

• 温度の主効果、
• 銘柄の主効果、

• 温度と銘柄の交互作用の効果の分析が得られる。

  上の結果は、いずれも有意であることが示されている

1. 帰無仮説の棄却or採択の決定:
   • 温度の主効果：5％水準で有意な効果がある (p=0.0132）(P=0.00011)
   • 銘柄の主効果：5％水準で有意な効果がある (p=4.01e-7) (p=1.6×10-6）
   • 温度と銘柄の交互作用効果：5％水準で有意な効果がある（p=0.039) 対応なしでは，(p=0.11515) で有意な効果はなかった

• 同様に、三元配置、四元配置、…要因を増やして分析することが可能
• ただし、要因の数が多いと、分析が複雑になり、結果の解釈が困難になることがあるので注意

• 分散分析は、基本的に平均値の比較の検定

  主効果や交互作用効果の観点からデータにおける値のばらつきの分析が可能