5章 統計的仮説検定

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# 自尊感情とソーシャルスキルの間にできた相関関係
#

cor(自尊感情s, ソーシャルスキルs)

[1] 0.5346852

標準正規分布からの二つの独立な標本，\(\vec{A}\), \( \vec{B} \) から \(\vec{C} = 1/2 \vec{A} + \sqrt{3} / 2 \vec{B} \)を作り，\(\vec{A}\) と \( \vec{C} \) をそれぞれ10倍し50足したものを，自尊感情とソーシャルスキ ルにする。

すると，自尊感情とソーシャルスキルの間に相関関係が生れることになる。

帰無仮説

提案する手法が従来の手法と「差がない」、 提案する手法は 「効果がない」という仮説—本来主張したいこととは逆の仮説。 この仮説 が棄却されることを目標として仮説検定を行う。

具体的には、母平均μ=0 (母平均は0である), 母相関係数 ρ=0 (相関がな い), 母平均の差μ1 - μ2= 0 (差がない)というような仮説

対立仮説

帰無仮説が棄却されたときに採択される仮説

帰無仮説とは逆の仮説であり、実験などで示したい・主張したいことを表し たもの

具体的には、母平均μ≠0 (母平均は0でない), 母相関係数 ρ≠0 (相関が ある), 母平均の差μ1 - μ2≠ 0 (差がある)というような仮説

対立仮説の設定により、検定は次のどちらかで行う (両側検定の方がより厳し い条件であり、普通は両側検定で行う):

• 片側検定：対立仮説が、母平均μ > 0 (もしくはμ < 0 )、 、母相関係数 ρ > 0 (もしくはρ < 0 )、、母平均の差μ1 > μ2 (もしくはμ1 < μ2 )、 の場合

• 両側検定：対立仮説が、母平均μ≠0、母相関係数ρ≠0 、母平均の差 μ1 - μ2≠ 0の場合

  両側検定では、例えば母平均μ≠0を調べるには、母平均μ > 0 とμ < 0 の両方を調べなければならない

帰無仮説が正しいものとして分析を行う。 実際に得られたデータから計算さ れた検定統計量の値によって採択を判断する。

• 帰無仮説が正しいとしたとき、検定統計量が、ほぼ起こり得ない値(それほ ど極端な値)であれば、帰無仮説を棄却する(つまり、本来の主張を表す対立 仮説が採択される)。

• そうでなければ, つまり，確率的に十分起こりうるような値であれば、 帰無仮説を採択する.

  この場合は、本来主張したかった対立仮説が棄却されてしまう。

検定統計量

統計的仮説検定のために用いられる標本統計量のこと。 代表的な検定統計量の例: t, χ2、F

検定統計量の実現値

実際のデータ（手に入った標本）を基に計算し てえられる具体的な値のこと

検定統計量の実現値は、対立仮説に合うほど 0から離れた値を示す

有意水準 \( \alpha \)

対立仮説を採択するか決定するときの基準。

有意水準は5％または1％(α=0.05またはα=0.01)に設定することが多い

• 標本が100回に5回(5%の場合)以下にしか現れないデータであった
• こんなことは偶然では起こりえない
• だから帰無仮説が成り立たないと考えて良いのではないか、という判断基準

帰無分布

帰無仮説が正しいものとして考えた時の標本分布

• 帰無分布に基づいて確率計算される

棄却域

帰無仮説のもとで、非常に生じにくい検定統計量の値の範囲

• 帰無仮説が棄却される領域 (だから、この範囲に入るのが 望ましい)
• 棄却域に検定統計量の実現値が入ったら、帰無仮説を棄却する.
  • 本来主張したかったことが採択される *

採択域

棄却域以外の部分—「帰無仮説が採択される領域」

臨界値

棄却域と採択域の境目の値

検定統計量の実現値が棄却域に入った場合、「差がない」という帰無仮説を棄 却し、「差がある」という対立仮説を採択する。

• 「検定結果は5% (または1%) 水準で有意である」
• または 「p < .05 (または p < .01 )で有意差が見られた 」 と記述する。

帰無仮説が棄却できない場合は、「検定の結果、差が有意でなかった」または 「有意差が認められなかった」と書く。

p 値

帰無分布で，検定統計量の実現値以上の領域が起る確率。

p値が有意水準より小さいとき帰無仮説を棄却する。

第1種の誤り \( \alpha \)

「帰無仮説が真のとき，帰無仮説を棄却して しまう」誤り のこと

第2種の誤り \( \beta \)

「帰無仮説が偽のとき，帰無仮説を採択して しまう」誤りのこと

検定力

帰無仮説が偽の場合、全体の確率1から第2種の誤りの確率(1 - β)を引いた確率「第2種の誤りを犯さない確率」とも、つまり間違っている 帰無仮説を正しく棄却できる確率のこと　

帰無分布 \( ( \mu = \mu_0) \) での臨界点を z* とすると，対立分布 \( ( \mu = \mu_1, \mu_0 < \mu_1 の場合) \) での z* 以下の確率が \(\beta\). \( 1- \beta \) が検定力。

• 「実験や調査で得られた「条件間の差」は，標本抽出による誤差によって，十 分起り得る差です」ということ。
• 「統計的に意味のある差ではない」ということ。
• 有意差がみられなかったとしても，「同じである」ということではない。

社会統計演習からshidouhouU8.csv をダウンロードしてください。

     ##
     ## 指導法データ
     ##
     指導法データ <- read.csv("RforS/data/shidouhouU8.csv")
     class(指導法データ)
     (心理学テスト <- 指導法データ$psych_test)

[1] "data.frame"
 [1] 13 14  7 12 10  6  8 15  4 14  9  6 10 12  5 12  8  8 12 15

母集団が N(12, 10)なので

##
## Z検定量
##
this.mean <- 12
this.sd <- sqrt(10)

z_stat <- function (x) {
  (mean(x)-this.mean) / (this.sd/sqrt(length(x)))
}

norm_stat(心理学テスト)

[1] -2.828427

帰無仮説

\( \mu = 12\)

対立仮説

\( \mu \neq 12 \)

##
## 検定統計量の実現値を求める
##
(z <- norm_stat(心理学テスト))

[1] -2.828427

##
## 帰無仮説の棄却 or 採択の決定
##
if ( pnorm(z)*2 > this.alpha ) {  print("mu==12")  } else {   print("mu/=12") }

[1] "mu/=12"

• 自由度1，2，4，8，16 の t-分布のグラフ
• 標準正規分布のグラフ (緑)

## 自由度1，2，4，8，16 の t-分布のグラフ
## 標準正規分布のグラフ (緑)

curve(dnorm(x), -5, 5, col="green", main="t-分布")
for(i in 1:4) {
  curve(dt(x,2^i), -5, 5, add=TRUE)  
}

指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv")
(心理学テスト <- 指導法データ$psych_test)

[1] 13 14  7 12 10  6  8 15  4 14  9  6 10 12  5 12  8  8 12 15

帰無仮説

\( \mu = 12\)

対立仮説

\( \mu \neq 12 \)

母分散が未知なので，標本不偏分散を用いる。

t_stat <- function (X) {
  (mean(X)-this.mean) / sqrt(var(X)/length(X))
}

(t <- t_stat(心理学テスト))

[1] -2.616648

if ( pt(t,19)*2 > this.alpha ) {  print("mu==12")  } else {   print("mu/=12") }

[1] "mu/=12"

t.test(心理学テスト, mu=12)

	One Sample t-test

data:  心理学テスト
t = -2.6166, df = 19, p-value = 0.01697
alternative hypothesis: true mean is not equal to 12
95 percent confidence interval:
  8.400225 11.599775
sample estimates:
mean of x 
       10

t.test(心理学テスト, mu=11)

	One Sample t-test

data:  心理学テスト
t = -1.3083, df = 19, p-value = 0.2064
alternative hypothesis: true mean is not equal to 11
95 percent confidence interval:
  8.400225 11.599775
sample estimates:
mean of x 
       10

指導法データについて，統計テスト1と統計テスト2の得点の相関係数の 検定を行ってください。

有意水準5%の両側検定とします。

指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv")
(数学s <- 指導法データ$math)
(統計s <- 指導法データ$stat)

#クロス集計表の作成

(クロス集計表 <- table(数学s, 統計s))

 [1] 嫌い 嫌い 好き 好き 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い 好き 好き 嫌い 好き 嫌い 嫌い
[16] 好き 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い
Levels: 嫌い 好き
 [1] 好き 好き 好き 好き 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い 好き 好き 好き 嫌い 好き
[16] 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い 嫌い
Levels: 嫌い 好き
      統計s
数学s 嫌い 好き
  嫌い   10    4
  好き    2    4

数学と統計の好き嫌いの間に有意な連関があると言えるでしょうか？ 有意水準 5% で検定してください。

\( O_i \)

観測度数

\( E_i \)

期待度数 (あらかじめ期待される，または，理論的に求 められる，度数)

\[ \chi^2 = \sum_1^k \frac {(O_i - E_i)^2 } { E_i} \]

chi2_stat <- function(Ob,Ex) {
  sum((Ob-Ex)^2 / Ex)
}

sum(クロス集計表[1,])
sum(クロス集計表[2,])

[1] 14
[1] 6

sum(クロス集計表[,1])
sum(クロス集計表[,2])

[1] 12
[1] 8

( total <- sum(sum(クロス集計表[,1]),sum(クロス集計表[,2])) )

期待度数s <- matrix(nrow=2, ncol=2)
for(i in 1:2) {
  sc <- sum(クロス集計表[i,])
  for(j in 1:2) {
    sr <- sum(クロス集計表[,j])
    期待度数s[i,j] <- sc*sr/total
  }
}
期待度数s

[1] 20
     [,1] [,2]
[1,]  8.4  5.6
[2,]  3.6  2.4

観測度数s <- クロス集計表

(chi2 <- (観測度数s-期待度数s)^2/期待度数s)

sum(chi2)

      統計s
数学s      嫌い      好き
  嫌い 0.3047619 0.4571429
  好き 0.7111111 1.0666667
[1] 2.539683

\( n \times m \) のクロス集計表のカイ二乗検定の自由度は，\( (n-1)\times (m-1) \)

帰無仮説によればこの検定統計量は自由度1のカイ二乗分布に従うので，

qchisq(0.95, 1)

[1] 3.841459

\( 2.539683 \le 3.841459 \), よって棄却されない

R組み込みのカイ二乗検定 chisq.test を使う:

chisq.test(クロス集計表,correct=FALSE)

	Pearson's Chi-squared test

data:  クロス集計表
X-squared = 2.5397, df = 1, p-value = 0.111

 警告メッセージ: 
 chisq.test(クロス集計表, correct = FALSE) で: 
   カイ自乗近似は不正確かもしれません

標本における連関の大きさが全く同じであっても、サンプルサイズが異なると 検定の結果が変わることがある。

サンプルサイズが大きくなると、有意になりや すい。

帰無仮説、帰無分布、棄却域は全く同じものとなります。

違うのは検定統計量の実現値だけです。

chisq.test関数により検定を行ってみましょう。

カイ二乗検定量に10倍違いがあり，検定は，有意になりやすくなる。

chisq.test(履修A, correct=FALSE)

	Pearson's Chi-squared test

data:  履修A
X-squared = 1.9048, df = 1, p-value = 0.1675

chisq.test(履修B, correct=FALSE)

	Pearson's Chi-squared test

data:  履修B
X-squared = 19.048, df = 1, p-value = 1.275e-05